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最終更新日:2021.07.09

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シリーズ: 現代基礎数学 05

離散群の幾何学

離散群の幾何学

A5/224ページ/2021年02月01日
ISBN978-4-254-11755-4 C3341
定価3,850円(本体3,500円+税)

藤原耕二 著

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群論の初歩を知っている読者に向けた,離散群論の入門書。幾何学的群論の紹介を兼ねる。〔内容〕群の例/群のケイレイグラフ/自由積と群の表示/群のエンド/双曲平面の幾何/ツリーの幾何と群作用/融合積とHNN拡大/双曲群

目次

1. 群の例
 1.1 SL(2;Z)とPSL(2;Z) 
 1.2 対称群

2. 群のケイレイグラフ
 2.1 二面体群
 2.2 ケイレイグラフ
 2.3 無限二面体群
 2.4 群の作用

3. 自由積と群の表示
 3.1 自由群
  3.1.1 群の自由積
  3.1.2 グルシュコの定理と群のランク
 3.2 群の表示
  3.2.1 群の表示
  3.2.2 SL(2;Z)とPSL(2;Z)の表示

4. 群のエンド
 4.1 エンド
  4.1.1 グラフ上の距離
  4.1.2 グラフのエンド
  4.1.3 群のエンド
  4.1.4 エンドの数が2の群
 4.2 擬等長性
 4.3 スターリングスの定理

5. 双曲平面の幾何
 5.1 双曲平面
  5.1.1 上半平面
  5.1.2 測地線
  5.1.3 一次分数変換と等長作用
  5.1.4 各元の幾何学的性質
  5.1.5 ジョルダン標準形
  5.1.6 軸と移動距離
 5.2 双曲平面の測地線
  5.2.1 すべての測地線
  5.2.2 円
  5.2.3 等長変換群
  5.2.4 ガウス・ボンネの定理
  5.2.5 測地線の近傍
  5.2.6 三角形
  5.2.7 曲面の被覆
 5.3 SL(2;Z)の上半平面への作用
  5.3.1 基本領域
  5.3.2 不変なツリー

6. ツリーの幾何と群作用
 6.1 ツリー
 6.2 ツリーの自己同型とその分類
 6.3 楕円的な元の固定点
 6.4 固定点集合の共通部分
 6.5 軸と固定点集合についての諸性質
 6.6 SL(3;Z)
 6.7 SL(3;Z)は性質FAを持つ

7. 融合積とHNN拡大
 7.1 融合積
  7.1.1 定義と正規形
  7.1.2 既約な語
  7.1.3 ツリーへの作用
  7.1.4 応用
 7.2 HNN拡大
  7.2.1 定義と例
  7.2.2 正規形
  7.2.3 Brittonの補題とその応用
  7.2.4 ツリーへの作用
  7.2.5 ファン・カンペンの定理
 7.3 Bass-Serre理論の概略と応用
  7.3.1 部分群の構造
  7.3.2 応用

8. 双曲群
 8.1 双曲空間
  8.1.1 双曲性
  8.1.2 擬測地線とモースの補題
  8.1.3 擬等長写像
 8.2 双曲群
  8.2.1 群の双曲性
  8.2.2 不連続的な群作用
  8.2.3 擬凸部分群
  8.2.4 双曲群の初等性とエンドの数
 8.3 位数無限の元と自由群に同型な部分群 
  8.3.1 双曲的な元
  8.3.2 自由群の存在
 8.4 双曲群は線型の等周不等式をみたす
  8.4.1 群の表示と等周不等式
  8.4.2 双曲群は有限表示である
  8.4.3 双曲性と線型等周不等式は同値
 8.5 その他
  8.5.1 有限位数の元
  8.5.2 Z^2に同型な部分群の非存在
  8.5.3 決定問題