コンピュータ代数ハンドブック

山本 慎三好 重明原 正雄谷 聖一衛藤 和文(訳)

山本 慎三好 重明原 正雄谷 聖一衛藤 和文(訳)

定価 33,000 円(本体 30,000 円+税)

A5判/1040ページ
刊行日:2006年06月05日
ISBN:978-4-254-11106-4 C3041

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内容紹介

多項式演算,行列算,不定積分などの代数的計算をコンピュータで数式処理する際のアルゴリズムとその数学的基礎を,実用性を重視して具体的に解説。“Modern Computer Algebra(2nd.ed.)”(Cambridge Univ. Press,2003)の翻訳。〔内容〕ユークリッドのアルゴリズム/モジュラアルゴリズムと補間/終結式と最小公倍数の計算/高速乗算/ニュートン反復法/フーリエ変換と画像圧縮/有限体上の多項式の因数分解/基底の簡約の応用/素数判定/グレブナ基底/記号的積分/他。

編集部から

 本書は,計算機代数の教科書の決定版といえるもので,これだけのページ数をとって解説した本は,日本では他に見当たりません.基礎から応用まで非常に丁寧に解説がなされ文献も多く紹介されていますし,第2版の翻訳で内容も新しいので,利用価値が非常に高いと思います.
 以下のサイトで原著者の先生方の写真を見ることができます.非常にユニークな(?)先生方の素顔を伺い知ることができます.(編集部)
http://www-math.uni-paderborn.de/~gathen/
http://www.juergen-gerhard.net/

目次

訳者まえがき
序文
目次
アルゴリズム一覧
図表の一覧
はじめに
1 シクロヘキサン,暗号,コード,計算機代数
 1.1 シクロヘキサンの立体配座
 1.2 RSA暗号系
 1.3 分散データ構造
 1.4 計算機代数システム
第 Ⅰ 部 Euclid
2 基本的なアルゴリズム
 2.1 整数の表現と足し算
 2.2 多項式の表現と足し算
 2.3 掛け算
 2.4 余りを伴う割り算
 注解
 練習問題
3 Euclidのアルゴリズム
 3.1 Euclid整域
 3.2 拡張Euclidアルゴリズム
 3.3 ℤとF[x]に対する計算量の解析
 3.4 gcdの(非)一意性
 注解
 練習問題
4 Euclidのアルゴリズムの応用
 4.1 モジュラ算
 4.2 Euclidアルゴリズムによるモジュラ逆元
 4.3 繰り返し平方
 4.4 Fermatの小定理によるモジュラ逆元
 4.5 線形Diophantine方程式
 4.6 連分数とDiophantine近似
 4.7 暦
 4.8 音階
 注解
 練習問題
5 モジュラアルゴリズムと補間
 5.1 表現の変換
 5.2 値を計算することと補間
 5.3 応用:秘密の共有
 5.4 中国剰余アルゴリズム
 5.5 行列式のモジュラ計算
 5.6 Hermite補間
 5.7 有理関数の復元
 5.8 Cauchy補間
 5.9 Padé近似
 5.10 有理数の復元
 5.11 部分分数分解
 注解
 練習問題
6 終結式と最大公約数の計算
 6.1 Euclidのアルゴリズムの係数の増大化
 6.2 Gaußの補題
 6.3 終結式
 6.4 モジュラgcdアルゴリズム
 6.5 F[x,y]におけるモジュラgcdアルゴリズム
 6.6 ℤ[x]におけるMignotteの因子の上界とモジュラgcdアルゴリズム
 6.7 小さい素数 のモジュラgcdアルゴリズム
 6.8 応用:平面曲線の交わり
 6.9 0でないことの保存といくつかの多項式のgcd
 6.10 部分終結式
 6.11 モジュラ拡張Euclidアルゴリズム
 6.12 擬除算と原始的Euclidアルゴリズム
 6.13 実装
 注解
 練習問題
7 応用:BCH符号での符号化
 注解
 練習問題
第II部 Newton
8 高速乗算
 8.1 Karatsubaの乗算アルゴリズム
 8.2 離散Fourier変換と高速Fourier変換
 8.3 SchönhageとStrassenの乗算アルゴリズム
 8.4 ℤ[x]およびR[x,y]における乗算
 注解
 練習問題
9 Newton反復法
 9.1 Newton反復法による余りを伴う除算
 9.2 一般Taylor展開と基数の転換
 9.3 形式的微分とTaylor展開
 9.4 Newton反復法による代数方程式の解法
 9.5 整数べき根の計算
 9.6 Newton反復法,Julia集合およびフラクタル
 9.7 高速算術の実装
 注解
 練習問題
10 高速多項式評価と補間法
 10.1 高速多数点評価
 10.2 高速補間法
 10.3 高速中国剰余
 注解
 練習問題
11 高速Euclidアルゴリズム
 11.1 多項式についての高速Euclidアルゴリズム
 11.2 Euclidアルゴリズムによる部分終結式
 注解
 練習問題
12 高速線形代数
 12.1 Strassenの行列乗算
 12.2 応用:多項式の高速モジュラ合成
 12.3 線形再帰点列
 12.4 Wiedemannのアルゴリズムとブラックボックス線形代数
 注解
 練習問題
13 Fourier変換と画像圧縮
 13.1 連続的および離散的Fourier変換
 13.2 音声と画像の圧縮
 注解
 練習問題
第III部 Gauß
14 有限体上の多項式の因数分解
 14.1 多項式の因数分解
 14.2 異なる次数の因数分解
 14.3 等しい次数の因数分解:CantorとZassenhausのアルゴリズム
 14.4 完全な因数分解のアルゴリズム
 14.5 応用:根の探索
 14.6 平方自由因数分解
 14.7 反復Frobeniusアルゴリズム
 14.8 線形代数をもとにしたアルゴリズム
 14.9 既約性判定と既約多項式の構成
 14.10 円分多項式とBCH符号の構成
 注解
 練習問題
15 Hensel持ち上げと多項式の因数分解
 15.1 ℤ[x]上とℚ[x]上の因数分解:基本的アイデア
 15.2 ある因数分解アルゴリズム
 15.3 FrobeniusとChebotarevの密度定理
 15.4 Hensel持ち上げ
 15.5 多因子のHensel持ち上げ
 15.6 Hensel持ち上げを用いた因数分解:Zassenhausのアルゴリズム
 15.7 実装
 注解
 練習問題
16 格子上の短いベクトル
 16.1 格子
 16.2 Lenstra,Lenstra & Lovászの基底簡約アルゴリズム
 16.3 基底の簡約のコストの評価
 16.4 短いベクトルから因数分解へ
 16.5 ℤ[x]上の多項式時間因数分解アルゴリズム
 16.6 多変数多項式の因数分解
 注解
 練習問題
17 基底の簡約の応用
 17.1 ナップザック型暗号系の破れ
 17.2 擬似乱数
 17.3 連立Diophantine近似
 17.4 Mertensの反証
 注解
 練習問題
第Ⅳ部 Fermat
18 素数判定
 18.1 整数の乗法位数
 18.2 Fermatテスト
 18.3 強擬素数性判定テスト
 18.4 素数発見
 18.5 SolovayとStrassenのテスト
 18.6 素数判定の計算量
 注解
 練習問題
19 整数の因数分解
 19.1 因数分解の挑戦
 19.2 素朴な方法
 19.3 PollardとStrassenの方法
 19.5 Dixonのランダム平方法
 19.6 Pollardのp—1法
 19.7 Lenstraの楕円曲線法
 注解
 練習問題
20 応用:公開鍵暗号系
 20.1 暗号系
 20.2 RSA暗号
 20.3 Diffle—Hellmanの鍵交換プロトコル
 20.4 ElGamal暗号系
 20.5 Rabinの暗号系
 20.6 楕円曲線暗号
 注解
 練習問題
第Ⅴ部 Hilbert
21. Gröbner基底
 21.1多項式イデアル
 21.2 単項式順序と多変数多項式の余りを伴う割り算
 21.3 単項式イデアルとHilbertの基底定理
 21.4 Gröbner基底とS多項式
 21.5 Buchbergerのアルゴリズム
 21.6 幾何への応用
 21.7 Gröbner基底の計算量
 注解
 練習問題
22 記号的積分
 22.1 微分代数
 22.2 Hermiteの方法
 22.3 Lazard,Rioboo,Rothstein,Tragerの方法
 22.4 超指数積分:AlmkvistとZeilbergerのアルゴリズム
 注解
 練習問題
23 記号的和
 23.1 多項式の和
 23.2 調和数
 23.3 最大階乗分解
 23.4 超幾何和:Gosperのアルゴリズム
 注解
 練習問題
24 応用
 24.1 Gröbner証明システム
 24.2 Petri 網
 24.3 等式証明とアルゴリズムの分析
 24.4 シクロヘキサン再考
 注解
 練習問題
付録
25 基本的事項
 25.1 群
 25.2 環
 25.3 多項式と体
 25.4 有限体
 25.5 線形代数
 25.6 有限確率空間
 25.7 「大きいO」記号
 25.8 計算量理論
 注解
図版の出典
引用句の出典
参考文献
索引

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